Diferansiyel denklemler yardımıyla üstel fonksiyonun inşası / Construction of exponential function via differential equations

Abstract

Biz bu tez çalışmasında, e^x olarak bildiğimiz üstel fonksiyonu, sadece başlangıç değer problemlerini kullanarak baştan inşa edeceğiz. Bu sayede, üstel fonksiyonun sadece diferansiyel denklemler kullanılarak tanımlanabileceğini göstermiş olacağız. Bunu yapmak için, türevi kendisine eşit olan ve 0 noktasında 1 değerini alan fonksiyon nedir, sorusunu soracağız. Böyle bir fonksiyonun varlığını ve tekliğini garanti etmek için varlık ve teklik teoremini kullanacağız. Bu fonksiyonu diferansiyel denklemler ile inşa ettikten sonra, E(x) ile göstereceğiz ve bazı özelliklerini (toplamı çarpıma; farkı bölüme; çarpımı üsse dönüştürmesi, monotonluk, konvekslik, pozitiflik, tersinirlik, sonsuzluktaki davranışları, grafik incelemesi vs.) inceleyeceğiz. Özellikle, bu fonksiyonun E(1)^x biçiminde yazıldığını göstereceğiz ve E(1) tabanının yaklaşık değerini, E fonksiyonunun türevinin kendisine eşit olması gerçeğinden elde edeceğiz. Bu fonksiyonun tersini, LN ile göstereceğiz ve LN'nin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Son olarak, pozitif bir sayının üssü kavramını baştan ele alacağız.