Fourier dönüşüm uzayında diferansiyel denklemlerin çözümleri / Solutions of differential equations in Fourier transform space

Abstract

Neredeyse her şey (zamana bağlı bir fonksiyon ya da sinyal, elektromanyetik dalgalar, ses dalgaları, hisse senetlerinin fiyat değişimi gibi) bir dalga formu şeklinde tanımlanabilir. Fourier dönüşümü bu formlarla işlem ve değerlendirme yapmak üzere kullandığımız oldukça güçlü bir araçtır. Sürekli ve ayrık olarak iki farklı şekilde incelenebilir. Kullanılan iki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşlemektedir. Sürekli değişkenler için Fourier dönüşümü: F(k)=1/√2π ∫_(-∞)^∞▒〖f(x) e^(-ikx) dx〗 ve ters Fourier dönüşümü f(x)=1/√2π ∫_(-∞)^∞▒〖F(k) e^ikx dk〗 şeklinde verilmiştir. Fourier dönüşümü f(x)→F(k), ters Fourier dönüşümü ise F(k)→f(x) eşlemesi ile gösterilir. Biz bu tezde diferansiyel denklemlerin çözümünü elde ederken verilen denklemin Fourier uzayında olduğunu düşünerek, yeni bir çözüm yöntemi sunacağız. Bu çalışmayı yaparken Fourier dönüşümlerinin özelliklerinden ve Dirac delta fonksiyonundan faydalanacağız. Bu yeni yöntem ile bazı diferansiyel denklemlerin çözümünü elde edeceğiz.